Question

證明以下命題：

（1）對(duì)任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列；

（2）存在無窮多個(gè)互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列．

Answer 1

證明：

（1）易知成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，所以對(duì)任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列．

（2）若成等差數(shù)列，則有，

即                  ……①

選取關(guān)于的一個(gè)多項(xiàng)式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由于

因此令，可得

易驗(yàn)證滿足①，因此成等差數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，有且

因此以為邊長(zhǎng)可以構(gòu)成三角形，將此三角形記為．

其次，任取正整數(shù)，假若三角形與相似，則有：

據(jù)此例性質(zhì)有：

所以，由此可得，與假設(shè)矛盾，即任兩個(gè)三角形與互不相似，所以存在無窮多個(gè)互不相似的三角形，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且以成等差數(shù)列．