Question

過點(diǎn)P(1，4)引一條直線，使它在兩條坐標(biāo)軸上的截距為正值，且它們的和最小，求這條直線的方程．

Answer 1

解：(解法1)設(shè)所求的直線方程為y－4＝k(x－1)．顯見，上述直線在x軸、y軸上的截距分別為1－、4－k.由于1－>0且4－k>0可得，k<0.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為S＝＋(4－k)＝5＋(－k)＋≥5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)－k＝－，即k＝－2時(shí)，S有最小值9.故所求直線方程為y－4＝－2(x－1)，即2x＋y－6＝0.

(解法2)設(shè)所求的直線方程為＋＝1(a>0，b>0)．

據(jù)題設(shè)有＋＝1，①　令S＝a＋b.②

①×②，有S＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋4＝9.當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，即2a＝b，且＋＝1，也即a＝3，b＝6時(shí)，取等號．

故所求的直線方程為＋＝1，即2x＋y－6＝0.