Question

【題目】已知橢圓C： （a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)， 兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過， 兩點(diǎn).另外由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；（2）先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)l： （），將代入，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出，根據(jù)列出等式表示出和的關(guān)系，從而判斷出直線恒過定點(diǎn).

試題解析：（1）由于， 兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過， 兩點(diǎn).

又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.

因此，解得.

故C的方程為.

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t， ），（t， ）.

則，得，不符合題設(shè).

從而可設(shè)l： （）.將代入得

由題設(shè)可知.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.

而

.

由題設(shè)，故.

即.

解得.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， ，欲使l： ，即，

所以l過定點(diǎn)（2， ）

點(diǎn)睛:橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中未告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在兩種情況，其通法是聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).