Question

12．已知A（cosα，0），B（0，sinα），C（cosβ，sinβ），O為原點(diǎn)，且$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{OC}$，0＜α＜β＜π
（Ⅰ）求α+β的值；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)$\frac{（1+sinα-cosβ）（sin\frac{α}{2}-sin\frac{β}{2}）}{\sqrt{2+2cosα}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{AB}$，再由$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{OC}$，即可求出sin（α+β）=0，由角的范圍即可求出α+β的值；
（Ⅱ）直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵A（cosα，0），B（0，sinα），C（cosβ，sinβ），
∴$\overrightarrow{OC}$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow{AB}$=（-cosα，sinα），
∵$\overrightarrow{AB}$∥$\overrightarrow{OC}$，
∴cosαsinβ+sinαcosβ=0，
即sin（α+β）=0．
又∵0＜α＜β＜π，
∴0＜α+β＜2π
∴α+β=π；
（Ⅱ）$\frac{（1+sinα-cosβ）（sin\frac{α}{2}-sin\frac{β}{2}）}{\sqrt{2+2cosα}}$=$\frac{（2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+2si{n}^{2}\frac{β}{2}）（sin\frac{α}{2}-sin\frac{β}{2}）}{\sqrt{2×2co{s}^{2}\frac{α}{2}}}$
=$\frac{（2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+2co{s}^{2}\frac{α}{2}）（sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}）}{2cos\frac{α}{2}}$=$si{n}^{2}\frac{α}{2}-co{s}^{2}\frac{α}{2}=-cosα$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了計(jì)算能力，是中檔題．