Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足數(shù)列{2^a_n}是等比數(shù)列，若a₄+a₁₀₀₉+a₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$，則S₂₀₁₇的值是$\frac{2017}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的定義得到a_n-a_n-1=2^q，為常數(shù)，即{a_n}是等差數(shù)列，結合等差數(shù)列的性質以及等差數(shù)列的前n項和公式進行求解即可．

解答 解：∵數(shù)列{2^a_n}是等比數(shù)列，∴設公比為q，
則$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}$=2${\;}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}$=q，
則a_n-a_n-1=2^q，為常數(shù)，
則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
則a₄+a₂₀₁₄=2a₁₀₀₉，
由a₄+a₁₀₀₉+a₂₀₁₄=$\frac{3}{2}$，得3a₁₀₀₉=$\frac{3}{2}$，
即a₁₀₀₉=$\frac{1}{2}$，
則S₂₀₁₇=$\frac{2017（{a}_{1}+{a}_{2017}）}{2}$=$\frac{2017×2{a}_{1009}}{2}$=$\frac{2017}{2}$，
故答案為：$\frac{2017}{2}$

點評 本題主要考查數(shù)列求和的計算，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義判斷數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，以及利用等差數(shù)列的性質是解決本題的關鍵．