Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，BE為⊙O的切線，點C為⊙O上不同于A、B的一點，AD為∠BAC的平分線，且分別與BC交于H，與⊙O交于D，與BE交于E，連接BD、CD．
（Ⅰ）求證：∠DBE=∠DBC；
（Ⅱ）求證：AH•BH=AE•HC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由弦切角定理及其同弧所對的圓周角的性質、角平分線的性質即可證明．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE=BH．可得AH•BH=AH•BE．利用相似三角形的判定定理可得：△AHC∽△AEB，再利用性質即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）由弦切角定理知∠DBE=∠DAB．
又∠DBC=∠DAC，∠DAB=∠DAC，
∴∠DBE=∠DBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BE=BH．
∴AH•BH=AH•BE，
∵∠DAB=∠DAC，∠ACB=∠ABE，
∴△AHC∽△AEB，
∴$\frac{AH}{AE}=\frac{HC}{BE}$，即AH•BE=AE•HC，
∴AH•BH=AE•HC．

點評 本題考查了弦切角定理及其同弧所對的圓周角的性質、角平分線的性質、相似三角形的判定與性質定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．