Question

設

a

=（-

3

2

，cosωx），

b

=（1，

3

cosωx-sinωx）（ω＞0），f（x）=

a

•

b

，若f（x）的最小正周期是π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[

π

12

，

7π

12

]上的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）首先利用向量的數(shù)量積對三角函數(shù)的關系式進行三角恒等變換，把三角函數(shù)變形成余弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的周期求出函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）直接利用上步的結論，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（Ⅰ）已知：

a

=（-

3

2

，cosωx），

b

=（1，

3

cosωx-sinωx）（ω＞0），
則：f（x）=

a

•

b

=

3

cos2ωx-sinωxcosωx-

3

2

=

3 (cos2ωx+1)

2

-

sin2ωx

2

-

3

2

=cos2ωxcos

π

6

-sin2ωxsin

π

6

=cos（2ωx+

π

6

)
若f（x）的最小正周期是π
所以：T=

2π

2ω

=π
解得：ω=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=cos(2x+

π

6

)
由于：x∈[

π

12

，

7π

12

]
所以：2x+

π

6

∈[

π

3

，

4π

3

]
所以：函數(shù)f（x）的值域為：[-1，

1

2

]

點評：本題考查的知識要點：利用向量的數(shù)量積對三角函數(shù)進行恒等變換，利用函數(shù)的周期求函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎題型．