Question

11．隨著智能手機的發(fā)展，微信越來越成為人們交流的一種方式．某機構對使用微信交流的態(tài)度進行調查，隨機調查了 50 人，他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表．

年齡（歲）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）
頻數(shù)	5	10	15	10	5	5
贊成人數(shù)	5	10	12	7	2	1

（I）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認為年齡45歲為分界點對使用微信交流的態(tài)度有差異；

	年齡不低于45歲的人	年齡低于45歲的人	合計
贊成
不贊成
合計

（Ⅱ）若對年齡在[55，65），[65，75）的被調查人中隨機抽取兩人進行追蹤調查，記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望
參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （I）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，利用公式計算K²，對照數(shù)表即可得出結論；
（Ⅱ）根據(jù)題意得出X的所有可能取值，計算對應的概率值，寫出X的分布列與數(shù)學期望值．

解答 解：（I）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表，如下；

	年齡不低于45歲的人	年齡低于45歲的人	合計
贊成	10	27	37
不贊成	10	3	13
合計	20	30	50

根據(jù)公式計算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（10×3-10×27）}^{2}}{37×13×20×30}$≈9.98＞6.635，
所以有99%的把握認為年齡45歲為分界點對使用微信交流的態(tài)度有差異；
（Ⅱ）根據(jù)題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$×$\frac{6}{10}$=$\frac{9}{50}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{1}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$×$\frac{6}{10}$+$\frac{3}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{12}{25}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$×$\frac{6}{10}$+$\frac{6}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{0}}{{C}_{5}^{2}}$•$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$×$\frac{4}{10}$=$\frac{1}{25}$；
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{9}{50}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{25}$

所以X的數(shù)學期望為EX=0×$\frac{9}{50}$+1×$\frac{12}{25}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{25}$=$\frac{30}{25}$=$\frac{6}{5}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是綜合性題目．