Question

16．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求曲線C₁和曲線C₂的極坐標方程；
（Ⅱ）已知射線l₁：θ=α（0＜α＜$\frac{π}{2}$），將射線l₁順時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到射線l₂：θ=α-$\frac{π}{6}$，且射線l₁與曲線C₁交于O、P兩點，射線l₂與曲線C₂交于O、Q兩點，求|OP|•|OQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用平方關(guān)系消去參數(shù)可得曲線C₁的直角坐標方程，利用互化公式可得曲線C₁極坐標方程．曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），消去參數(shù)可得：曲線C₂的普通方程，利用互化公式可得C₂極坐標方程．
（2）設(shè)點P極點坐標（ρ₁，4cosα），即ρ₁=4cosα．點Q極坐標為$（{ρ_2}，4sin（α-\frac{π}{6}））$，即${ρ_2}=4sin（α-\frac{π}{6}）$．代入|OP|•|OQ|，利用和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
利用平方關(guān)系消去參數(shù)可得：曲線C₁的普通方程為（x-2）²+y²=4，展開可得：x²+y²-4x=0，
利用互化公式可得：ρ²-4ρcosθ=0，
∴C₁極坐標方程為ρ=4cosθ．
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2+2sinβ\end{array}\right.$（β為參數(shù)），消去參數(shù)可得：
曲線C₂的普通方程為x²+（y-2）²=4，
展開利用互化公式可得C₂極坐標方程為ρ=4sinθ．
（2）設(shè)點P極點坐標（ρ₁，4cosα），即ρ₁=4cosα．
點Q極坐標為$（{ρ_2}，4sin（α-\frac{π}{6}））$，即${ρ_2}=4sin（α-\frac{π}{6}）$．
則$|OP|•|OQ|={ρ_1}{ρ_2}=4cosα•4sin（α-\frac{π}{6}）$=$16cosα•（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinα-\frac{1}{2}cosα）$=$8sin（2α-\frac{π}{6}）-4$．
∵$α∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2α-\frac{π}{6}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$，
當$2α-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$α=\frac{π}{3}$時，|OP|•|OQ|取最大值4．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、直線與曲線相交弦長公式、直角坐標方程與極坐標方程的互化，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．