13.已知函數(shù)f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+$\frac{1}{2}{x^2}(f'(x)是f(x)$的導(dǎo)數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))g(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$+ax+b(a∈R,b∈R)
(Ⅰ)求f(x)的解析式及極值;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x),求$\frac{b(a+1)}{2}$的最大值.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出f′(1)=e,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到函數(shù)的單調(diào)性求出f(0)的值即可;
(Ⅱ)令h(x)=ex-(a+1)x-b≥0,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出$\frac{b(a+1)}{2}$的最大值即可.

解答 解:(Ⅰ)由已知得:f′(x)=f′(1)ex-1-f(0)+x,
令x=1,得:f′(1)=f′(1)-f(0)+1,
即f(0)=1,
∵f(0)=$\frac{f′(1)}{e}$,
∴f′(1)=e,
從而f(x)=ex-x+$\frac{1}{2}$x2,
∴f′(x)=ex+x-1,
又f′(x)=ex+x-1在R遞增,且f′(0)=0,
∴當(dāng)x<0時(shí),f′(x)<0,x>0時(shí),f′(x)>0,
故x=0為極值點(diǎn),
∴f(x)的極小值實(shí)是f(0)=1,無極大值;
(Ⅱ)f(x)≥$\frac{1}{2}$x2+ax+b?h(x)=ex-(a+1)x-b≥0,
得:h′(x)=ex-(a+1),
①當(dāng)a+1≤0時(shí),h′(x)>0,
故y=h(x)在x∈R上遞增,
x∈-∞時(shí),h(x)→-∞與h(x)≥0矛盾,
②當(dāng)a+1>0時(shí),h′(x)>0,
∴x>ln(a+1),h′(x)<0,
∴x<ln(a+1),
故x=ln(a+1)時(shí),h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0,
即(a+1)-(a+1)ln(a+1)≥b,
∴(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),(a+1>0),
令F(x)=x2-x2lnx(x>0),則F′(x)=x(1-2lnx),
∴F′(x)>0,解得:0<x<$\sqrt{e}$,F(xiàn)′(x)<0,解得:x>$\sqrt{e}$,
x=$\sqrt{e}$時(shí),F(xiàn)(x)max=$\frac{e}{2}$,
即當(dāng)a=$\sqrt{e}$-1,b=$\frac{\sqrt{e}}{2}$時(shí),
(a+1)b的最大值為$\frac{e}{2}$,
∴$\frac{(a+1)b}{2}$的最大值為:$\frac{e}{4}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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A.12B.24C.$4\sqrt{3}$D.$8\sqrt{3}$

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(Ⅱ)求四棱錐P-BFDE的體積.

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2.若$a={2^{\frac{π}{8}}}$,${(\frac{1}{2})^b}={log_{\frac{1}{π}}}b$,$c={log_2}sin\frac{π}{3}$,則( 。
A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

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