Question

10．已知在△ABC中，AC=3，G為重心，邊AC的垂直平分線與BC交于點N，且$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NC}$-$\overrightarrow{NG}$•$\overrightarrow{NA}$=-4，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$-\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 可畫出圖形，根據(jù)條件便可得出$\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{AC}=-4$，而根據(jù)向量減法、數(shù)乘的幾何意義，重心的性質(zhì)，以及向量加法的平行四邊形法則便有$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）-\overrightarrow{AN}$，進行向量數(shù)量積的運算便可得出$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+3-\frac{9}{2}=-4$，這樣即可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：如圖，
$\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{NG}•（\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NA}）$
=$\overrightarrow{NG}•\overrightarrow{AC}$
=$（\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}）•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AN}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}-|\overrightarrow{AN}||\overrightarrow{AC}|cos∠NAC$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+3-\frac{9}{2}$
=-4；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=-\frac{15}{2}$．
故答案為：$-\frac{15}{2}$．

點評 考查向量減法和數(shù)乘的幾何意義，三角形重心的性質(zhì)，向量的數(shù)乘運算，向量加法的平行四邊形法則，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，三角函數(shù)的定義．