Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0恰有兩解，求實數(shù)a取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)出臨界點的坐標，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可．

解答 解：（1）因為f（x）=ax-lnx，f′（x）=a-$\frac{1}{x}$，x＞0，a∈R，
若a≤0，則f′（x）＜0對x＞0恒成立，
所以，此時f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞0，則f′（x）=$\frac{ax-1}{x}$＞0時，x＞$\frac{1}{a}$
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），單調(diào)遞增區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（2）令f（x）=0，則lnx=ax，
若方程f（x）=0恰有兩解，
即y=lnx和y=ax有2個交點，
顯然a≤0時，不合題意，
a＞0時，設(shè)函數(shù)y=lnx和y=ax相切時，切點是（x₀，lnx₀），
則lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$•x₀，解得：x₀=e，
故切點是（e，1），此時a=$\frac{1}{e}$
故0＜a＜$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的交點問題，是一道中檔題．