Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：的焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的最小距離為2.

（1）求拋物線(xiàn)的方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線(xiàn)，，與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，，分別為弦，的中點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）32.

【解析】

（1）根據(jù)題意，解得答案.

（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，聯(lián)立方程解得，，則，利用均值不等式得到答案.

（1）因?yàn)閽佄锞�(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的最小距離為2，所以，解得，

故拋物線(xiàn)的方程為.

（2）焦點(diǎn)為，，所以?xún)芍本�(xiàn)，的斜率都存在且均不為0.

設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的斜率為，

故直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組

消去，整理得.

設(shè)點(diǎn).，則.

因?yàn)?/span>為弦的中點(diǎn)，所以.

由，得，故點(diǎn).

同理可得.

故，.

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.

所以的最小值為32.