Question

10．如圖，PA⊥底面ABC，PA=1，AB=3，AC=4，BC=5；
（1）求二面角P-BC-A的余弦值；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，由已知可得AB²+AC²=BC²，可得∠BAC=90°，經(jīng)過點A作AD⊥BC，垂足為D，連接PD，由PA⊥底面ABC，可得BC⊥PD，因此∠ADP是二面角P-BC-A的平面角．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
（2）由（1）可得：平面PBC⊥平面PAD，經(jīng)過點A作AE⊥PD，垂足為E，可得AE⊥平面PBC，因此AE就是點A到平面PBC的距離．利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）如圖所示，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB²+AC²=BC²，∴∠BAC=90°，
經(jīng)過點A作AD⊥BC，垂足為D，連接PD，∵PA⊥底面ABC，∴BC⊥PD，
∴∠ADP是二面角P-BC-A的平面角．
在Rt△ABC中，AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{12}{5}$，
∵PA⊥AD，∴PD=$\sqrt{P{A}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{13}{5}$．
∴cos∠ADP=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{\frac{12}{5}}{\frac{13}{5}}$=$\frac{12}{13}$．
∴二面角P-BC-A的余弦值是$\frac{12}{13}$．
（2）由（1）可得：平面PBC⊥平面PAD，
經(jīng)過點A作AE⊥PD，垂足為E，
則AE⊥平面PBC，
∴AE就是點A到平面PBC的距離．
S_△PAD=$\frac{1}{2}PD•AE$=$\frac{1}{2}PA•AD$，
∴AE=$\frac{PA×AD}{PD}$=$\frac{1×\frac{12}{5}}{\frac{13}{5}}$=$\frac{12}{13}$．
∴點A到平面PBC的距離是$\frac{12}{13}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、空間距離、直角三角形的邊角關(guān)系、勾股定理與逆定理、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．