Question

5．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且sin2A-sin（2B+C）=sinC．
（1）證明：a=b；
（2）若A為函數f（x）=sin（$\frac{π}{4}$-x）sin（$\frac{π}{4}$+x）+$\frac{1}{4}$的一個零點，且c=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用A+B+C=π，及其誘導公式及其sin2A-sin（2B+C）=sinC，可得cosA=cosB，即可得出．
（2）f（x）=sin（$\frac{π}{4}$-x）cos（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}$，利用f（A）=$\frac{1}{2}cos2A$+$\frac{1}{4}$=0，A∈（0，π），解得A．由（1）可知：A=B，因此A=$\frac{π}{3}$=B=C．即可得出．

解答 （1）證明：∵A+B+C=π，∴B+C=π-A，C=π-A-B，
∴sin（2B+C）=sin（B+π-A）=sin（A-B）．sinC=sin（A+B）．
∵sin2A-sin（2B+C）=sinC，
∴sin2A-sin（A-B）=sin（A+B）．
∴sin2A=2sinAcosA=2sinAcosB，sinA≠0，
∴cosA=cosB，
∵y=cosθ在（0，π）上單調遞減，
∴A=B．∴a=b．
（2）解：f（x）=sin（$\frac{π}{4}$-x）sin（$\frac{π}{4}$+x）+$\frac{1}{4}$
=sin（$\frac{π}{4}$-x）cos（$\frac{π}{4}$-x）+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}-2x）$+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}$，
∴f（A）=$\frac{1}{2}cos2A$+$\frac{1}{4}$=0，A∈（0，π），
∴2A=$\frac{2π}{3}$或$\frac{4π}{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
由（1）可知：A=B，因此A=$\frac{π}{3}$=B=C．
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了倍角公式、和差公式、余弦函數的單調性、三角形面積計算公式、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．