Question

（2014•長寧區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

x

-log2

a+x

1-x

為奇函數(shù)．
（1）求常數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）函數(shù)g（x）的圖象由函數(shù)f（x）的圖象先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，寫出g（x）的一個對稱中心，若g（b）=1，求g（4-b）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，以及

a+x

1-x

＞0，求得a=1，檢驗滿足f（-x）=-f（x）．
（2）根據(jù)f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)，log2(-1-

2

x-1

)單調(diào)遞增，

1

x

在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減，可得函數(shù)f（x）在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點（0，0）對稱，可得函數(shù)g（x）的一個對稱中心為（2，2），可得
g（4-x）+g（x）=4，再由g（b）=1，求得g（4-b）的值．

解答：解：（1）因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點對稱，由

a+x

1-x

＞0，
得（x-1）（x+a）＜0，所以a=1． 
這時f(x)=

1

x

-log2

1+x

1-x

，滿足f（-x）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)，因此a=1．
（2）函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù).f(x)=

1

x

-log2(-1-

2

x-1

)
利用已有函數(shù)的單調(diào)性加以說明．∵-1-

2

x-1

在x∈（-1，1）上單調(diào)遞增，因此log2(-1-

2

x-1

)單調(diào)遞增，又

1

x

在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f（x）在（-1，0）及（0，1）上單調(diào)遞減．
（3）因為函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，因此其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點（0，0）對稱，
根據(jù)條件得到函數(shù)g（x）的一個對稱中心為（2，2），
因此有g(shù)（4-x）+g（x）=4，因為g（b）=1，因此g（4-b）=3．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，函數(shù)圖象的平移規(guī)律，屬于中檔題．