Question

已知函數(shù)

(Ⅰ)若時(shí)，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求b的取值范圍；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)求的最小值；

(Ⅲ)設(shè)函數(shù)的圖象C1與函數(shù)的圖象C2交于P、Q，過線段PQ的中點(diǎn)R作x軸的垂線分別交C1、C2于點(diǎn)M、N，問是否存在點(diǎn)R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（I）；（II）(Ⅲ)見解析；

【解析】

試題分析：（1）依題意：∵上是增函數(shù)∴對(duì)恒成立，又故b的取值范圍為（2）設(shè)，則，即，這里需分三類討論第一類第二類第三類（3）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則即則

，，再通過構(gòu)造新函數(shù)推出矛盾

試題解析：（1）依題意：∵上是增函數(shù)，

∴對(duì)恒成立， 2分

∴∵ ∴b的取值范圍為 4分

（2）設(shè)，則，即 5分

∴當(dāng)即時(shí)函數(shù)y在[1,2]上為增函數(shù)，

當(dāng)t=1時(shí)， 6分

當(dāng)即時(shí)， 7分

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)y在[1,2]上為減函數(shù)，

當(dāng)t=2時(shí)， 8分

綜上所述，當(dāng)時(shí)的最小值為b+1

當(dāng)時(shí)的最小值為

當(dāng)時(shí)的最小值為4+2b 9分

（3）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為

C1在M處的切線斜率為 C­2­在點(diǎn)N處的切線斜率

假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則

即

則

， 12分

設(shè) ①

令則

∵ ∴

所以上單調(diào)遞增，故 ， 則

這與①矛盾，假設(shè)不成立,故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 14分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用