Question

20．在極坐標系中，已知直線l的方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2$，圓C的方程為ρ=4sinθ-2cosθ，試判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析 直線l的方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2，利用互化公式可得直角坐標方程．圓C的方程為ρ=4sinθ-2cosθ，即ρ²=ρ（4sinθ-2cosθ），利用互化公式可得直角坐標方程，利用點到直線的距離公式可得圓心C到直線的距離d，與半徑比較即可得出位置關系．

解答 解：直線l的方程為$ρcos（θ-\frac{π}{4}）=2$，展開可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（cosθ+sinθ）=2，
化為直角坐標方程：x+y-2$\sqrt{2}$=0．
圓C的方程為ρ=4sinθ-2cosθ，即ρ²=ρ（4sinθ-2cosθ），
可得直角坐標方程：x²+y²=4y-2x．配方為：（x+1）²+（y-2）²=5．
∴圓心C（-1，2）到直線的距離d=$\frac{|-1+2-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{5}$=r．
∴直線l與圓C相交．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．