Question

17．①已知復(fù)數(shù)z滿足|z|-z=$\frac{10}{1-2i}$，求z．
②用數(shù)學(xué)歸納法證明：n³+5n（n∈N^*）能被6整除．

Answer 1

分析 ①設(shè)z=a+bi，a，b∈R，利用兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，得到關(guān)于a，b的方程組，解得即可，
②先驗(yàn)證n=1成立，再假設(shè)n=k成立，推導(dǎo)n=k+1成立即可．

解答 解：①設(shè)z=a+bi，a，b∈R，
∵|z|-z=$\frac{10}{1-2i}$=$\frac{10（1+2i）}{（1-2i）（1+2i）}$=2+4i，
∴$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$-a-bi=2+4i，
即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}-a=2}\\{-b=4}\end{array}\right.$，
解得a=3，b=4，
故z=3+4i，
②：（1）當(dāng)n=1時，1³+5=6，顯然能被6整除，
（2）假設(shè)n=k時，k³+5k，（k∈N^*）能被6整除
則當(dāng)n=k+1時，（k+1）³+5（k+1）=（k³+5k）+3k（k+1）+6，
由于假設(shè)k³+5k能夠被6整除，而k（k+1）能夠被2整除，因此3k（k+1）+6能夠被6整除，
故當(dāng)n=k+1時，能被6整除，
由（1），（2）可知n³+5n（n∈N^*）能被6整除

點(diǎn)評 本題考查復(fù)數(shù)的模的定義，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，考查了數(shù)學(xué)歸納法、乘法公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．