Question

10．橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{y{\;}^2}}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|＞2b點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點在橢圓Γ上，橢圓r的上、下頂點分別為A，B，△AF₁F₂的面積為$\sqrt{3}$，
（I）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）如圖，過點P的直線l橢圓Γ相交于兩個不同的點C，D（C在線段PD之間）．
（i）求$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$的取值范圍；
（ii）當AD與BC相交于點Q時，試問：點Q的縱坐標是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （I）求得直線y=-x的對稱點，代入橢圓方程，則a=2，由bc=$\sqrt{3}$，b²+c²=4，由c＞b，即可求得b的值，求得橢圓的方程；
（Ⅱ）（i）分類，當直線l的斜率不存在時，$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=-1，當斜率存在時，設直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$的取值范圍；
（ii）由題意得，直線AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，直線BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，聯(lián)立方程組，消去x得y，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（I）點P（0，2）關(guān)于直線y=-x的對稱點（-2，0）在橢圓Γ上，則a=2，
則△AF₁F₂的面積為S=$\frac{1}{2}$×2c×b=$\sqrt{3}$，即bc=$\sqrt{3}$，①
a²=b²+c²=4，②
解得：b=$\sqrt{3}$，c=1或b=1，c=$\sqrt{3}$，
由|F₁F₂|＞2b，即c＞b，
則b=1，c=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（i）當直線l的斜率不存在時，C（0，1），D（0，-1），
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=-1；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，
由△＞0，可得4k²＞3，且x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）×$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+2k×（-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$）+4=-1+$\frac{17}{1+4{k}^{2}}$，
∴-1＜$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$＜$\frac{13}{4}$，
綜上$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}$∈[-1，$\frac{13}{4}$）；
②由題意得，直線AD：y=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$x+1，直線BC：y=$\frac{{y}_{1}+1}{{x}_{1}}$x-1，
聯(lián)立方程組，消去x得y=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+3{x}_{2}}{3{x}_{2}-{x}_{1}}$，又4kx₁x₂=-3（x₁+x₂），
解得y=$\frac{1}{2}$，
故點Q的縱坐標為定值$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．