Question

20．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 先由題設(shè)條件求出雙曲線的a，c的關(guān)系，從而得到a和 b的關(guān)系，再利用橢圓 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的a和b關(guān)系求出橢圓的離心率．

解答 解：由題設(shè)條件可知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴不妨設(shè)a=2．c=$\sqrt{6}$，∴b=$\sqrt{2}$
∴橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的a=2．b=$\sqrt{2}$
∴c=$\sqrt{2}$
則橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的離心率為e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)．本題是雙曲線的橢圓的綜合題，難度不大，只要熟練掌握圓錐曲線的性質(zhì)就行．