Question

11．已知圓C：x²+（y-4）²=r²，直線l過點M（-2，0）
（Ⅰ）若圓C的半徑r=2，直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若直線l的傾斜角α=135°，且直線l與圓C相交于A、B兩點，弦長$|{AB}|=2\sqrt{2}$，求圓C的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，利用圓心到直線的距離d=r，即可求直線l的方程；
（Ⅱ）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出半徑，即可求圓C的方程．

解答 解：（Ⅰ）斜率不存在時，x=-2滿足題意；
斜率存在時，設直線方程為y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-4+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{3}{4}$，切線方程為3x-4y-6=0，
綜上所述，直線l的方程為x=-2或3x-4y-6=0；
（Ⅱ）若直線l的傾斜角α=135°，直線方程為x+y+2=0，圓心到直線的距離=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵弦長$|{AB}|=2\sqrt{2}$，
∴$r=\sqrt{18+2}$=$\sqrt{20}$，
∴圓C的方程x²+（y-4）²=20．

點評 本題考查直線與圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線距離公式的運用，屬于中檔題．