Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA=PC=PD=$\sqrt{2}$，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．
（1）求證：側(cè)面PAD⊥底面ABCD；
（2）求三棱錐P-ACD的表面積．

Answer 1

分析 （1）取AD中點(diǎn)O，連接PO、CO，利用等腰三角形的性質(zhì)可得PO⊥AD且PO=1．又底面ABCD為直角梯形，可得四邊形ABCO是正方形，CO⊥AD且CO=1，由PC²=CO²+PO²，可得PO⊥OC，因此PO⊥平面ABCD．即可證明側(cè)面PAD⊥底面ABCD．
（2）S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•CO$，S_△PAD=$\frac{1}{2}AD•PO$．利用已知可得：△PAC，△PCD都是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的等邊三角形，故S_△PAC=S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$．即可得出．

解答 證明：（1）取AD中點(diǎn)O，連接PO、CO，由PA=PD=$\sqrt{2}$，
得PO⊥AD且PO=1．
又底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，O為AD中點(diǎn)，故四邊形ABCO是正方形，
故CO⊥AD且CO=1，
故△POC中，PC²=CO²+PO²，即PO⊥OC，又AD∩CO=O，
故PO⊥平面ABCD．
PO?平面PAD，
故側(cè)面PAD⊥底面ABCD．
解：（2）S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•CO$=$\frac{1}{2}×2×1$=1，S_△PAD=$\frac{1}{2}AD•PO$=$\frac{1}{2}×2×1$=1．
△PAC中，AC=PA=PC=$\sqrt{2}$，
Rt△COD中，CD=$\sqrt{C{O}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故△PAC，△PCD都是邊長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的等邊三角形，
故S_△PAC=S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐P-ACD的表面積S=2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、勾股定理及其逆定理、三角形面積計(jì)算公式、正方形的性質(zhì)、等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．