Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³-6ax²，其中a≥0．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，確定切線的斜率、切點的坐標，即可求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）先求導，通過討論a的取值，討論函數(shù)的單調性．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x³-6x²，f′（x）=3x（x-4），
∴f′（1）=-9，f（1）=-5，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程y-5=-9（x-1），
即9x+y-14=0；
（2）f'（x）=3x²-12ax．
令f'（x）=0，得x₁=0，x₂=4a．
①當a=0時，f'（x）=3x²≥0，故f（x）在R上為增函數(shù)．
②當4a＞0，即a＞0時，列表分析如下：

x	（-∞，0）	0	（0，4a）	4a	（4a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內單調遞增，在（0，4a）內單調遞減．
綜上，當a=0時，f（x）在R上單調遞增；當a＞0時，f（x）在（-∞，0）和（4a，+∞）內單調遞增，在（0，4a）內單調遞減．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義．對應含有參數(shù)的函數(shù)的單調性要對參數(shù)進行討論．