Question

20．已知函數(shù)$f（x）=1+cos（2x+\frac{3π}{2}）-\sqrt{3}cos（π-2x）$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=2在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的取值情況，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）$f（x）=1+cos（2x+\frac{3π}{2}）-\sqrt{3}cos（π-2x）$
=$1+sin2x+\sqrt{3}cos2x$=$1+2（\frac{1}{2}sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x）$
=$1+2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]．k∈Z；
（2）由f（x）-m=2得f（x）=m+2，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
由圖象得f（0）=1+2sin$\frac{π}{3}$=1+$\sqrt{3}$，
函數(shù)f（x）的最大值為1+2=3，
∴要使方程f（x）-m=2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，
則f（x）=m+2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的解，
即函數(shù)f（x）和y=m+2在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴1+$\sqrt{3}$≤m+2＜3，
即$\sqrt{3}$-1≤m＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．