Question

如圖，底面為正方形的四棱錐S-ABCD 中，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)且SD⊥平面PAC，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍.                                                                       

（1）求二面角P-AC-D的大小  (2)在側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

解法一：

     （1）連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意。在正方形ABCD中，，所以,得.

     設(shè)正方形邊長(zhǎng)，則。

又，所以,

      連，知,所以,   

且,所以是二面角的平面角。

由,知,所以,

即二面角的大小為。

  （2）在棱SC上存在一點(diǎn)E，使

由（1）可得，故可在上取一點(diǎn),使,過作的平行線與的交點(diǎn)即為。連BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.

解析二（1）連,設(shè)交于于，由題意知.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸、軸、軸正方向，建立坐標(biāo)系如圖.

……………………1分

設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高.

于是 ，

 ，

  ……………………3分

由題設(shè)知，平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，

設(shè)所求二面角為，則,

∴故所求二面角的大小為……………………7分

（2）在棱上存在一點(diǎn)使.

 由（1）知是平面的一個(gè)法向量，

且

設(shè)     則 

而

即當(dāng)時(shí)，     

而不在平面內(nèi)，故……………………12分