Question

（07年江西卷理）（12分）

右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解析：解法一：

（1）證明：作交于，連．

則．

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111859006.gif' width=16>是的中點(diǎn)，

所以．

則是平行四邊形，因此有．

平面且平面，

則面．

（2）如圖，

過(guò)作截面面，分別交，于，．

作于，連．

因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111903026.gif' width=45>面，所以，則平面．

又因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111904031.gif' width=61>，，．

所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角．

因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111906037.gif' width=68>，所以，故，

即：所求二面角的大小為．

（3）因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111906037.gif' width=68>，所以

．

．

所求幾何體體積為

．

解法二：

（1）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

 

則，，，因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111859006.gif' width=16>是的中點(diǎn)，所以，

．

易知，是平面的一個(gè)法向量．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090325/20090325111908052.gif' width=65>，平面，所以平面．

（2），，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

則，得：

取，．

顯然，為平面的一個(gè)法向量．

則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角．

所以二面角的大小是．

（3）同解法一．