Question

9．如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，且AB=3AD，BC=2BE．
（1）用向量$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{DE}$；
（2）設(shè)AB=9，AC=6，A=60°，求線段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形法則表示；
（2）計(jì)算${\overrightarrow{DE}}^{2}$即可得出|$\overrightarrow{DE}$|．

解答 解：（1）∵AB=3AD，BC=2BE．
∴$\overrightarrow{DB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$．
（2）${\overrightarrow{AB}}^{2}$=81，${\overrightarrow{AC}}^{2}$=36，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=9×6×cos60°=27．
∴${\overrightarrow{DE}}^{2}$=$\frac{1}{36}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{63}{4}$，
∴DE=|$\overrightarrow{DE}$|=$\sqrt{\frac{63}{4}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的基本定理，數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．