Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E、F分別為A₁C₁、BC的中點(diǎn)，AC與平面BCC₁B₁所成角為45°．
（1）求證：C₁F∥平面ABE；
（2）求三棱錐B-AFC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，證明四邊形FGEC₁為平行四邊形，可得C₁F∥EG，即可證明C₁F∥平面ABE；
（2）利用VB-AFC1=VC1-AFB，即可求三棱錐B-AFC₁的體積．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則
∵F是BC的中點(diǎn)，
∴FG∥AC，F(xiàn)G=

1

2

AC，
∵E是A₁C₁的中點(diǎn)，
∴FG∥EC₁，F(xiàn)G=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG，
∵C₁F?平面ABE，EG?平面ABE，
∴C₁F∥平面ABE；
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，
∵AC與平面BCC₁B₁所成角為45°，
∴∠ACB=45°，
∵AC=2，
∴BC=

2

，AB=

2

，
∴VB-AFC1=VC1-AFB=

1

3

×

1

2

×

2

×

2

2

×2=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查錐體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．