Question

5．若鈍角三角形的三邊長(zhǎng)和面積都是整數(shù)，則稱這樣的三角形為“鈍角整數(shù)三角形”，下列選項(xiàng)中能構(gòu)成一個(gè)“鈍角整數(shù)三角形”三邊長(zhǎng)的是（　　）

• A． 2，3，4
• B． 2，4，5
• C． 5，5，6
• D． 4，13，15

Answer 1

分析 設(shè)三角形的最大角為θ，則利用余弦定理可求cosθ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ，利用三角形面積公式可求三角形面積，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．

解答 解：設(shè)三角形的最大角為θ，則：
對(duì)于A，cosθ=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$=-$\frac{1}{4}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，S=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，不能；
對(duì)于B，cosθ=$\frac{4+16-25}{2×2×4}$=-$\frac{5}{16}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{231}}{16}$，S=$\frac{1}{2}$×2×4×$\frac{\sqrt{231}}{16}$=$\frac{\sqrt{231}}{4}$，不能；
對(duì)于C，cosθ=$\frac{25+25-36}{2×5×5}$=$\frac{7}{25}$，故三角形為銳角三角形，不符合條件；
對(duì)于D，cosθ=$\frac{16+169-225}{2×4×13}$=-$\frac{5}{13}$，sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{12}{13}$，S=$\frac{1}{2}$×4×13×$\frac{12}{13}$=24，符合條件；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．