Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1). (2)滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).

【解析】

試題分析：(1)解法1：設(shè)橢圓的方程為,

依題意:    解得:                        2分

∴ 橢圓的方程為.                          3分

解法2：設(shè)橢圓的方程為，

根據(jù)橢圓的定義得，即，               1分

∵， ∴.                              2分

∴ 橢圓的方程為.                            3分

(2)解法1：設(shè)點(diǎn),，則，

，

∵三點(diǎn)共線,           ∴.                  4分

∴,                  

化簡(jiǎn)得：. ①                          5分

由,即得.                             6分

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ②

同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 .  ③      8分

設(shè)點(diǎn)，由②③得：，

而，則 .                                      9分

代入②得 ，                                         10分

則，代入 ① 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為.                                           11分

若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，    12分

∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),  ∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).    13分

∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).                 14分

解法2：設(shè)點(diǎn),，，

由,即得.                      4分

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.  5分

∵， ∴ .

∵點(diǎn)在切線上,  ∴.       ①            6分

同理， . ②                                       7分

綜合①、②得，點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程.     8分

∵經(jīng)過的直線是唯一的， ∴直線的方程為，  9分

∵點(diǎn)在直線上，     ∴.                        10分

∴點(diǎn)的軌跡方程為.                                    11分

若 ，則點(diǎn)在橢圓上，又在直線上，12分

∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn), ∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).    13分

∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).                14分

解法3：顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，

由消去，得.          4分

設(shè),則.              5分

由,即得.                              6分

∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.  7分

∵， ∴.                                

同理,得拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為.          8分

由解得                    

∴.                                               10分

∵,

∴點(diǎn)在橢圓上.                                11分

∴.

化簡(jiǎn)得.(*)                                   12分

由,                              13分

可得方程(*)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根. ∴滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè).           14分

考點(diǎn)：本題主要考查橢圓的方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

點(diǎn)評(píng)：典型題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題（1）求橢圓方程時(shí)，應(yīng)用了橢圓的定義及其幾何性質(zhì)，難度不大，較為典型。（2）則解答方法較多，是“一題多解”的典型題目。