Question

已知函數(shù)f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，滿足f（1）=1，且使f（x）=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè)，
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n）（n∈N⁺），
（�。┰嚽骯₂，a₃，a₄，并由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法加證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，滿足f（1）=1，可得a=2b+1；根據(jù)f（x）=2x只有一解，可得4（1+b）²-4×2a×0=0，由此可得函數(shù)解析式；
（2）（�。├�用a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），代入計(jì)算，可求a₂，a₃，a₄，從而猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（ⅱ）利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，證明即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

2bx

ax-1

(a≠0)，滿足f（1）=1，
∴a=2b+1
∵f（x）=2x只有一解，∴

2bx

ax-1

=2x只有一解，
即2ax²-2（1+b）x=0（a≠0）
∴4（1+b）²-4×2a×0=0
∴b=-1，∴a=-1
∴f（x）=

2x

x+1

；
（2）（�。�∵a₁=

2

3

，a_n+1=f（a_n），
∴a₂=f（a₁）=

4

5

，a₃=f（a₂）=

8

9

，a₄=f（a₃）=

16

17

，
猜想an=

2n

2n+1

；
（ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①n=1時(shí)，左邊=a₁=

2

3

，右邊=

2

3

，∴猜想成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak=

2k

2k+1

，
則n=k+1時(shí)，a_k+1=f（a_k）=

2ak

ak+1

=

2k+1

2k+1+1

，
即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立
由①②可知an=

2n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查數(shù)列的通項(xiàng)的猜想與證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．