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17.拋物線y=x2,若過點(0,m)且長度為2的弦恰有兩條,則m的取值范圍是(-∞,1).

分析 由題意可得弦所在直線的斜率存在,設(shè)為k,可得直線方程為y=kx+m,(k≠0),代入拋物線的方程,運用韋達定理和判別式大于0,弦長公式,運用換元法,以及函數(shù)的單調(diào)性和拋物線的對稱性,即可得到所求范圍.

解答 解:由題意可得弦所在直線的斜率存在,設(shè)為k,
可得直線方程為y=kx+m,(k≠0),
代入拋物線的方程,可得x2-kx-m=0,
即有△=k2+4m>0,
設(shè)弦的端點的橫坐標分別為x1,x2,
可得x1+x2=k,x1x2=-m,
即有弦長為1+k2|x1-x2|=1+k2k2+4m=2,
化為4m=41+k2-k2,
令t=1+k2(t>1),即有f(t)=4t-t+1遞減,
則f(t)<4,即有4m<4,解得m<1.
檢驗由拋物線關(guān)于y軸對稱,成立.
故答案為:(-∞,1).

點評 本題考查拋物線的方程和運用,注意聯(lián)立直線方程,運用韋達定理和判別式大于0,以及弦長公式,考查運算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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