Question

20．直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． 2
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{{16\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定積分求解即可．

解答 解：拋物線(xiàn)C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)（0，1），直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C：y=$\frac{1}{4}{x^2}$的焦點(diǎn)且與y軸垂直，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)（-2，1），（2，1），
直線(xiàn)l的方程為y=1，如圖所示，可知l與C圍成的圖形的面積等于矩形OABF的面積與函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²的圖象和x軸正半軸及直線(xiàn)x-=2圍成的圖形的面積的差的2倍（圖中陰影部分的2倍）．
即l與C所圍成的圖形的面積S=4-2${∫}_{0}^{2}（\frac{1}{4}{x}^{2}）dx$=4-2×$（\frac{1}{12}{x}^{3}）{|}_{-2}^{2}$=4-$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，定積分的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．