Question

設(shè)S_n是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1，則公比q的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先看當(dāng)q=1時(shí)，求得，

Sn+Sn+2

2

=S_n+1，符合不等式，再分別看當(dāng)q大于1和小于1兩種情況，把等比數(shù)列的求和公式代入題設(shè)不等式，分別求得q的范圍，最后綜合可得答案．

解答：解：當(dāng)q=1時(shí)，

Sn+Sn+2

2

=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立
當(dāng)q≠1時(shí)

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1
∴

a1(1-qn) 1-q + a1(1-qn+2) 1-q

2

≤

a1(1-qn+1)

1-q

當(dāng)q＞1時(shí)，整理得（q-1）²≤0，不等式無解
當(dāng)q＜1時(shí)，整理得（q-1）²≥0，求得q＜1
最后綜合得q的范圍為0＜q≤1．
故答案為：0＜q≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．在使用等比數(shù)列的求和公式時(shí)要注意q=1時(shí)的情況．