Question

如圖所示，多面體中，是梯形，，是矩形，平面平面，，.

（1）求證：平面；
（2）若是棱上一點(diǎn)，平面，求；
（3）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）見解析   （2）. （3）.

(1)易證：，再根據(jù)平面ACFE平面ABCD,利用面面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為.
(2)連接BD，交AC于O點(diǎn)，若則.從而再根據(jù)O的位置確定M的位置求出EM的長度.
(3)以C為原點(diǎn)，CA、CB、CF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,然后分別求出平面BEF和平面EFD的法向量，利用向量法求二面角B-EF-D的平面角的余弦值
（1）平面，，從而.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220909188421.png" style="vertical-align:middle;" />面，平面平面，所以平面.
（2）連接，記，在梯形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220909469674.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，，，從而.又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220908814698.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以.連接，由平面得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220908736520.png" style="vertical-align:middle;" />是矩形，所以.
（3）以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，解得.
同理可得平面的一個(gè)法向量為，觀察知二面角的平面角為銳角，所以其余弦值為.