Question

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意的x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1，設(shè)函數(shù)f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m∈（-∞，0），使得對(duì)任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c（a≠0），于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，g（1）=-1，由此能求出g（x）的表達(dá)式．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），當(dāng)m＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=

x2

2

＞0對(duì)?x＞0，f（x）＞0恒成立；當(dāng)m＜0時(shí)，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出存在實(shí)數(shù)m∈（-e，0]，使得對(duì)任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

解答： 解：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c（a≠0），
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以a=

1

2

，c=-1，
又g（1）=-1，則b=-

1

2

，
所以g（x）=

1

2

x2-

1

2

x-1．
（2）f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

=

1

2

x2+mlnx（m∈R，x＞0），
當(dāng)m＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域?yàn)镽；
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=

x2

2

＞0對(duì)?x＞0，f（x）＞0恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，由f′(x)=x+

m

x

=0，得x=

-m

，
列表如下：

x	（0， -m ）	-m	（ -m ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

這時(shí)，[f（x）]_min=f（

-m

）=-

m

2

+mln

-m

，
由[f（x）]_min＞0，得

- m 2 +mln -m ＞0 m＜0

，解得-e＜m＜0，
若?x＞0，f（x）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-e，0]．
所以，存在實(shí)數(shù)m∈（-e，0]，使得對(duì)任意的x∈R₊，恒有f（x）＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的表達(dá)式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．