已知點P(3,4)是橢圓＋＝1(a>b>0)上的一點，F1、F2是橢圓的兩焦點，若PF1⊥PF2，試求：

(1)橢圓方程；

(2)△PF1F2的面積．

 

【答案】

 

解：(1)法一：令F1(－c,0)，F2(c,0)，

∵PF1⊥PF2，∴kPF1·kPF2＝－1，………………3分

即·＝－1，解得c＝5，

∴橢圓方程為＋＝1.

∵點P(3,4)在橢圓上，

∴＋＝1，

解得a2＝45或a2＝5，

 

又a>c，∴a2＝5舍去，

故所求橢圓方程為＋＝1.………………5分

法二：∵PF1⊥PF2，

∴△PF1F2為直角三角形，

∴|OP|＝|F1F2|＝c.

又|OP|＝＝5，∴c＝5，

∴橢圓方程為＋＝1(以下同法一)．………………5分

(2)法一：P點縱坐標的值即為F1F2邊上的高，

∴S△PF1F2＝|F1F2|×4＝×10×4＝20.………………10分

法二：由橢圓定義知：|PF1|＋|PF2|＝6①

又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2②

①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80，

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝20.………………10分

【解析】略

 

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（1）橢圓方程；

（2）△PF1F2的面積.

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