Question

設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1．證明：
（Ⅰ）a2+b2+c2≥

1

3

；
（Ⅱ）

a

+

b

+

c

≤

3

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）利用基本不等式ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ca≤

c2+a2

2

⇒a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²）⇒（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），依題意，即可證得結論；
（Ⅱ）依題意，可證(

a

+

b

+

c

)2=1+2

ab

+2

bc

+2

ac

≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]=3．

解答： 證明：（Ⅰ）∵ab≤

a2+b2

2

，bc≤

b2+c2

2

，ca≤

c2+a2

2

，
三式相加得：ab+bc+ca≤a²+b²+c²，
∴2ab+2bc+2ca≤2a²+2b²+2c²，
∴a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
∴（a+b+c）²≤3（a²+b²+c²），
∵a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，
∴（a²+b²+c²）≥1，
∴a²+b²+c²≥

1

3

（當且僅當a=b=c=

1

3

時取“=”）
（Ⅱ）∵a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1，
∴(

a

+

b

+

c

)2
=a+b+c+2

ab

+2

bc

+2

ac

=1+2

ab

+2

bc

+2

ac

≤1+[（a+b）+（b+c）+（c+a）]
=1+2（a+b+c）
=1+2=3，
∴

a

+

b

+

c

≤

3

．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的變形與應用，考查綜合法與推理論證的能力，屬于中檔題．