Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
（1）求它的定義域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；
（3）判定它的單調(diào)區(qū)間及每一區(qū)間上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可求它的定義域，值域；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷它的奇偶性和周期性；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及每一區(qū)間上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

2

sin(x-

π

4

)＞0，解得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，
即函數(shù)的定義域為(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，
∵0＜

2

sin?(x-

π

4

)≤1，
∴函數(shù)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)≥0，
即函數(shù)的值域為[0，+∞）．
（2）∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，∴函數(shù)為非奇非偶函數(shù)函數(shù)．
∵函數(shù)y=

2

sin?(x-

π

4

)的周期是π，
∴函數(shù)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)周期是π．
（3）∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知此時函數(shù)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)單調(diào)遞減．
∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知此時函數(shù)f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)單調(diào)遞增．
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為為[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，遞減區(qū)間為為(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域和值域求法，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度較大．