Question

已知F是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點，A是橢圓短軸上的一個頂點，橢圓的離心率為

1

2

，點B在x軸上，AB⊥AF，A，B，F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過F作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓于M，N兩點，P為線段MN的中點，設O為橢圓中心，射線OP交橢圓于點Q，若

OM

+

ON

=

OQ

，若存在求k的值，若不存在則說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定出F，A的坐標，進而確定點B的坐標，從而可確定A，B，F三點確定的圓的圓心坐標與半徑，利用圓與直線相切，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）假設存在，設直線l的方程為：y=k（x+1）代入橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1，根據P為線段MN的中點，確定P的坐標，進而可得Q的坐標，代入橢圓方程，即可判斷k不存在．

解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的離心率為

1

2

，∴c=

1

2

a，b=

3

2

a，∴F(-

1

2

a，0)，A(0，

3

2

a)
∴kAF=

3 2 a-0

0-(- 1 2 a)

=

3

，
∵AB⊥AF，∴kAB=-

3

3

∴AB的方程為：y=-

3

3

x+

3

2

a
令y=0，∴x=

3

2

a，∴B(

3

2

a，0)
∴A，B，F三點確定的圓的圓心坐標為(

1

2

a，0)，半徑為r=a
∴圓心到直線x+

3

y+3=0的距離為d=

| 1 2 a+3|

2

，
∵A，B，F三點確定的圓C恰好與直線x+

3

y+3=0相切．
∴d=

| 1 2 a+3|

2

=a
∴a=2，∴b=

3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假設存在，設直線l的方程為：y=k（x+1）代入橢圓的方程

x2

4

+

y2

3

=1，消去y可得
（3+4k²）x²+8k²x+（4k²-12）=0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，
∵P為線段MN的中點，∴xP=

x1+x2

2

= -

4k2

3+4k2

∴yP=k(xP+1)=

3k

3+4k2

∵

OM

+

ON

=

OQ

，∴

OQ

=2

OQ

∴

x0=2xP= - 8k2 3+4k2 y0=2yP= 6k 3+4k2

∵射線OP交橢圓于點Q
∴

x02

4

+

y02

3

=1
∴3(-

8k2

3+4k2

)2+4( 

6k

3+4k2

)2=12
∴64k⁴+48k²=4（16k⁴+24k²+9）
∴48k²=96k²+36
∴-48k²=36
此方程無解，∴k不存在．

點評：本題考查圓與圓錐曲線的綜合，考查橢圓的標準方程，考查直線與圓相切，考查代入法的運用，解題的關鍵是確立動點坐標之間的關系，有綜合性．