Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項為a，公差為b，等比數(shù)列{b_n}的首項為b，公比為a（其中a，b均為正整數(shù)）．
（1）若a₁=b₁，a₂=b₂，求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，若a₁，a₃，a_n1，a_n2，…，a_nk，…（3＜n₁＜n₂，＜…＜n_k＜…，k∈N^*）成等比數(shù)列，求數(shù)列{n_k}的通項公式；
（3）若a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，且a₃+4=b₃，求a，b的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題（1）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式，得到本題結論；
（2）利用題目中條件得到參數(shù)a、b的不等關系，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)，得到a、b的值，從而求出數(shù)列{n_k}的通項公式；（3）利用中條件得到參數(shù)a、b的不等關系，再根據(jù)a，b均為正整數(shù)，求出a、b的值，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵a₁=b₁，a₂=b₂，
∴

a=b a+b=ab

，
∴a=b=0或a=b=2，
∵a，b∈N^*，
∴a=b=2，
故an=2n，bn=2n．
（2）由（1）得：a₁=2，a₃=6，
∴a1，a3，an1，an2，…，ank，…構成以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，
∴ank=2•3k+1．
又ank=2nk，
故有2nk=2•3k+1，
∴數(shù)列{n_k}的通項公式為nk=3k+1(k∈N*)．
（3）由a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃，
得a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，
由a+b＜ab得：a（b-1）＞b；
 由ab＜a+2b得：a（b-1）＜2b．
而a，b∈N^*，a＜b，即b＞a≥1，
從而得：1＜

b

b-1

＜a＜

2b

b-1

=2+

2

b-1

≤4，
∴a=2或3，
當a=3時，由a₃+4=b₃得：3+2b+4=9b，即b=1，不合題意，故舍去，
∴滿足條件的a=2．
又由a₃+4=b₃得：2+2b+4=4b，
故b=3．
綜上得：a=2，b=3．

點評：本題考查了數(shù)列的通項公式以及不等關系的應用，本題有一定的綜合性，屬于中檔題．