(文科)已知雙曲線
的右焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的動(dòng)直線與雙曲線相交于
兩點(diǎn),點(diǎn)
的坐標(biāo)是
.
(I)證明
為常數(shù);
(II)若動(dòng)點(diǎn)
滿足
(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求點(diǎn)
的軌跡方程.
(1)略
(2)
(文科)解:由條件知
,設(shè)
,
.
(I)當(dāng)
與
軸垂直時(shí),可設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)分別為
,
,
此時(shí)
.
當(dāng)
不與
軸垂直時(shí),設(shè)直線
的方程是
.
代入
,有
.
則
是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以
,
,
于是
.綜上所述,
為常數(shù)
.
(II)解法一:設(shè)
,則
,
,
,
,由
得:
即
于是
的中點(diǎn)坐標(biāo)為
.
當(dāng)
不與
軸垂直時(shí),
,即
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162814073254.gif" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)在雙曲線上,所以
,
,兩式相減得
,即
.
將
代入上式,化簡得
.
當(dāng)
與
軸垂直時(shí),
,求得
,也滿足上述方程.
所以點(diǎn)
的軌跡方程是
.
解法二:同解法一得
……………………………………①
當(dāng)
不與
軸垂直時(shí),由(I)有
.…………………②
.………………………③
由①、②、③得
. …④
.…⑤
當(dāng)
時(shí),
,由④、⑤得,
,將其代入⑤有
.整理得
.
當(dāng)
時(shí),點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,滿足上述方程.
當(dāng)
與
軸垂直時(shí),
,求得
,也滿足上述方程.
故點(diǎn)
的軌跡方程是
.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
雙曲線
-
=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,則有
A.a(chǎn)=2b | B.b=a | C.b=2a | D.a(chǎn)=b |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)已知雙曲線
的離心率
,過點(diǎn)
和
的直線與原點(diǎn)間的距離為
(Ⅰ)求雙曲線方程;
(Ⅱ)直線
與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)
,且
兩點(diǎn)都在以
為圓心的同一個(gè)圓上,求
的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
的一條漸近線與直線
垂直,那么雙曲線的離心 率為 ;漸近線方程為
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若雙曲線
的漸近線與圓
相切,則此雙曲線的離心率為________
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)P為雙曲線
上的一點(diǎn),
是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),若
,則
的面積為___________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
已知雙曲線
的離心率
,則其漸近線的方程為
.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
若雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長,則該雙曲線的離心率為( )
A. | B.5 | C. | D.2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
過點(diǎn)P(5,4)作與雙曲線
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線共有
條.
查看答案和解析>>