Question

7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．求證：
（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD．
（3）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，利用中位線定理得出OE∥PA，故PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥平面ABCD得PD⊥BC，結(jié)合BC⊥CD得BC⊥平面PCD，于是BC⊥DE，結(jié)合DE⊥PC得DE⊥平面PBC，故而DE⊥PB，結(jié)合PB⊥EF即可得出PB⊥平面DEF；
（3）依題意，可得V_E-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-BCD=$\frac{1}{6}$S_△BCD•PD．

解答 證明：（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．
∵底面ABCD是正方形，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又E為PC的中點(diǎn)，
∴OE∥PA．
又EO?平面BDE，PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥CD．
又PD∩DC=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD．又DE?平面PCD，
∴BC⊥DE．
∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC．
又PC?平面PBC，BC?平面PBC，PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，
∴DE⊥PB． 又EF⊥PB，且PD∩DC=D，
∴PB⊥平面DEF．
（3）∵E是PC的中點(diǎn)，
∴V_E-BCD=$\frac{1}{2}$V_P-BCD=$\frac{1}{6}$S_△BCD•PD=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×2$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．