Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=2，且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$夾角為120°
（1）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²，再開方即可；
（2）令（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，解方程即可．

解答 解：（1）${\overrightarrow{a}}^{2}$=1，${\overrightarrow}^{2}$=4，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos120°=-1，
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|²=$\overrightarrow{a}$²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4$\overrightarrow$²=21，
∴|$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$|=$\sqrt{21}$．
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=0，
即k${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=0，
∴k-（2k-1）-8=0，
解得k=-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于中檔題．