Question

15．已知f（x）的導函數為f'（x），滿足xf'（x）+2f（x）=$\frac{1}{x}$，且f（1）=2，則f（x）的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 把已知等式兩邊同時乘以x，得到[x²f（x）]′=1，令x²f（x）=x+c，由f（1）=2求得c值，則函數解析式可求，然后利用二次函數求最值．

解答 解：∵xf′（x）+2f（x）=$\frac{1}{x}$，
∴x²f′（x）+2xf（x）=1，
∴[x²f（x）]′=1，
∴x²f（x）=x+c，
將x=1代入可得：
f（1）=1+c=2，得c=1，
∴x²f（x）=x+1，
∴f（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}}=\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$，
∴當$\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}$，即x=-2時，$f（x）_{min}=-\frac{1}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查的知識點是導數的運算，導數在求函數最值時的應用，關鍵是合理構造函數，是中檔題．