Question

如圖所示，已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠DAB=

π

3

，AC∩BD=O，PO⊥平面ABCD，E、F分別在棱PC、PA上，CE=

1

3

CP，AF=

1

3

AP，G為PD中點，△PBD是邊長為6的等邊三角形．
（Ⅰ）求證：B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）求直線EP與平面BECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面BECF與平面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,點、線、面間的距離計算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）設(shè)PO，BG交點為H，證明H，F(xiàn)，E三點共線，F(xiàn)E∩BG=H，即可證明：B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）∠PEG即為所求，求出PG，PE，即可求直線EP與平面BECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）判斷∠GBD就是所求二面角的平面角，即可求平面BECF與平面ABCD所成銳二面角的大�。�

解答： （Ⅰ）證明：設(shè)PO，BG交點為H，則
∵O，G分別為BD，PD中點，
∴H為△PBD的重心，
∴OH=

1

3

OP
∵CE=

1

3

CP，
∴HE∥OC，
同理HF∥OA，
∴H，F(xiàn)，E三點共線，F(xiàn)E∩BG=H
∴B、E、C、F四點共面；
（Ⅱ）解：由題意，PO⊥AC，BD⊥AC，
∴AC⊥平面PBD，
∴AC⊥PD，
∴PD⊥EF，
∵PD⊥BG，
∴PD⊥平面BEGF，
∴∠PEG即為所求，
在直角△PEG中，PG=3，PE=2

6

，∠PGE=

π

2

，
∴直線EP與平面BECF所成角的正弦值為

PG

PE

=

6

4

；
（Ⅲ）解：設(shè)平面BECF∩平面ABCD=l，
∵EF∥AC，∴EF∥l，
∴∠GBD就是所求二面角的平面角，
在等邊三角形ABD中，G為中點，∴∠GBD=30°．

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合，考查空間角，正確找出空間角是關(guān)鍵．