Question

已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，點(diǎn)E是SC上的一點(diǎn)。

（Ⅰ）求證：平面EBD平面SAC；

（Ⅱ）設(shè)SA=4，AB=2，求點(diǎn)A到平面SBD的距離；

（Ⅲ）當(dāng)SA=AB時(shí)，求二面角B-SC-D的大小。

Answer 1

解法一：

證明（Ⅰ）：連結(jié)AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC,

∵ SA底面ABCD，BDÌ面ABCD，∴SABD，

∵SAÇAC=A，∴BD^面SAC，

又∵BDÌ面EBD，∴平面EBD平面SAC

解（Ⅱ）：由 （Ⅰ）知，BD^面SAC，

又∵BDÌ面SBD，∴平面SBD平面SAC，

設(shè)ACÇBD=O，則平面SBDÇ平面SAC=SO，

過A作AF^SO交SO于點(diǎn)F,則AF^面SBD，

所以線段AF的長就是點(diǎn)A到平面SBD的距離。

∵ABCD是正方形，AB=2，∴AO=，

又∵SA=4，△SAO是Rt△，∴SO=，

∵SO×AF=SA×AO，∴AF=，

∴點(diǎn)A到平面SBD的距離為

解（Ⅲ）：作BM⊥SC于M，連結(jié)DM，

∵SA底面ABCD，AB=AD，∴SB=SD，

又∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CB⊥SB，CD⊥SD，

∴△SBC≌△SDC，∴DM⊥SC，

∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角，BM=DM.

在正方形ABCD中，設(shè)AB=a，則AC=BD=a,

∵AB=SA，∴SB=a，SC=a,

∵BM×SC=SB×BC, ∴BM=a.

∴cos∠BMD=，

∴二面角B-SC-D的大小為120。

解法二：

證明（Ⅰ）同解法一。

∵ABCD是正方形，SA底面ABCD，

∴SA⊥AB，SA⊥AD，AB⊥AD，

如圖，建立直解坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz。

（Ⅱ）A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），S（0，0，4），

設(shè)平面SBD的法向量為，則⊥，⊥，

∴，，而=（2，0，-4），=（0，2，-4）

∴，

∴x=2,y=2,即，則點(diǎn)A到平面SBD的距離d==

（Ⅲ）設(shè)SA=AB=a，則A（0，0，0），B（a，0，0），C(a,a,0),D（0，a，0），S（0，0，a）；設(shè)平面SBC的法向量=(x₁,y₁,-1),平面SDC的法向量=（x₂,y₂,1）

則,而=（0，a,0）,=(-a,0,0),=(a,a,-a)

∴,∴x₁=-1,y₁=0，x₂=0,y₂=1

∴=(-1,0,-1),=(0, 1,1), ∴cos<,>==,

∴二面角B-SC-D的大小為120。