Question

15．已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，且被直線y=x分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：2
（Ⅰ）求圓C的方程
（Ⅱ）若圓C的圓心在x軸下方，過(guò)點(diǎn)P（-1，2）作直線l與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓c關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，被直線y=x分成兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，寫(xiě)出a，r的方程組，解方程組得到圓心和半徑；
（Ⅱ）圓C的方程為x²+（y+1）²=2．設(shè)直線l方程為y-2=k（x+1），利用過(guò)點(diǎn)P（-1，2）作直線l與圓C相切，建立方程，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+（y-a）²=r²
∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
∴1+a²=r² ①
又直線y=x分圓的兩段弧長(zhǎng)之比為1：2，
可知圓心到直線y=x的距離等于半徑的$\frac{1}{2}$；
∴$\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\frac{|r|}{2}$  ②
解①、②得a=±1，r²=2 
∴所求圓的方程為x²+（y±1）²=2；
（Ⅱ）圓C的方程為x²+（y+1）²=2．
設(shè)直線l方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0，則$\frac{|0+1+k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=-1或7，
∴直線l的方程為x+y-1=0或7x-y+9=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．