Question

12．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-4+t\\ y=t\end{array}\right.$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ²-4ρsinθ-2=0，直線l與圓C相交于點A、B．
（1）將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）求出直線l的普通方程，C到l的距離，利用勾股定理，可得線段AB的長度．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為ρ²-4ρsinθ-2=0，化為直角坐標方程為x²+y²-4y-2=0…（4分）
（2）直線l的普通方程為x-y+4=0…（6分）
又圓心C（0，2），半徑$r=\sqrt{6}$，∴C到l的距離為$\frac{|2|}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴AB=$2\sqrt{6-2}$=4．…（10分）

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．